扩展和移位#

符号扩展#

当把短位宽的带符号数存入长位宽寄存器时，需要对多出的位进行填充。符号扩展的对象是带符号数。

正数的扩展#

符号位不变（= 0），所有扩展位用 0 填充。

整数向左扩展填 0
小数向右扩展填 0

例：8 位 +5（00000101）→ 16 位 00000000 00000101

负数的扩展#

取决于该负数用的是何种编码：

原码表示#

方向	规则
整数	在符号位和数值位之间填充 0
小数	在数值位之后填充 0

例：8 位原码 -5 = 10000101 → 16 位 = 10000000 00000101

补码表示#

方向	规则
整数	向左扩展，填充符号位（即 1）
小数	向右扩展，填充 0

例：8 位补码 -5 = 11111011 → 16 位 = 11111111 11111011

补码整数扩展时填符号位（而非 0）是保证数值不变的关键。填 0 的话 11111011 会变成 00000000 11111011 = 251，而不是 −5。

溢出判断（乘法）#

两个 int（32 位）相乘得到 64 位乘积，但寄存器只能保留低 32 位。如何判断溢出？

1
64位乘积：1111 1111 1111 1111 1111 │ 1111 1111 ... 0010 0000 1111 0111
2
         ←────── 高 32 位 ────────→│←─────── 低 32 位 ───────────────→
3
                                   │
4
                            红色虚线：32位寄存器截断位置

判断规则：查看高 32 位是否全是 0（正数）或全是 1（负数补码）。如果不是，说明低 32 位表示不了完整的 64 位结果 → 溢出。

移位操作#

左移#

$x \ll k$ ：x 向左移动 k 位，右端补 k 个 0。每左移一位相当于乘以 2。

右移#

$x \gg k$ ：x 向右移动 k 位。分为两种：

类型	左端填充	适用场景
逻辑右移	补 k 个 0	无符号数
算术右移	补 k 个最高位的值（符号位）	带符号数

算术右移示例#

$x = 1100$ （补码表示 −4），算术右移 2 位：

1
1100  ──算术>>2──→  1111
2

3
补码: -4         补码: -1
4
         (除以 4)

算术右移 2 位 = 除以 $2^2 = 4$ ： $-4 \div 4 = -1$ ✓

算术右移保持了符号，逻辑右移不保持。

补码加减运算电路#

一个电路同时实现加法和减法，关键是利用补码的性质： $-Y = \bar{Y} + 1$ 。

1
                          ┌────────────┐
2
                     Sub ─┤  Cin       │
3
                          │            │
4
     X ──────────────────┤            │──────→ F (结果)
5
                          │  加法器     │
6
           ┌──┐  ┌───────┤            ├──→ Cout
7
     Y ────┤~ ├──┤ 1     │            │──→ OF
8
           └──┘  │ MUX   │            │──→ SF
9
                 │       │            │──→ ZF
10
            Y ───┤ 0     │            │──→ CF
11
                 └──┬────┘            │
12
                    │     ┌───────────┘
13
                    Y'

Sub（控制信号）	MUX 输出 $Y'$	Cin	实际运算
0	$Y' = Y$ （选通 0 端）	0	$F = X + Y$ （加法）
1	$Y' = \bar{Y}$ （选通 1 端）	1	$F = X + \bar{Y} + 1 = X - Y$ （减法）

::: tip Sub == Cin 减法时 Sub=1，同时把 Cin 也置为 1，从而完成 $\bar{Y} + 1 = -Y$ 的转换。 :::

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